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打家劫舍 III
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。 除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。 给定二叉树的 …
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题型
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代码语言
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相关题
当前训练重点
中等 · 二分·树·traversal
答案摘要
我们定义一个函数 ，表示偷取以 为根的二叉树的最大金额。该函数返回一个二元组 $(a, b)$，其中 表示偷取 节点时能得到的最大金额，而 表示不偷取 节点时能得到的最大金额。 函数 的计算过程如下：
Interview AiBoxInterview AiBox 实时 AI 助手，陪你讲清 二分·树·traversal 题型思路
题目描述
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。
示例 1:
输入: root = [3,2,3,null,3,null,1] 输出: 7 解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7
示例 2:
输入: root = [3,4,5,1,3,null,1] 输出: 9 解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9
提示：
- 树的节点数在
[1, 104]范围内 0 <= Node.val <= 104
解题思路
方法一：树形 DP
我们定义一个函数 ，表示偷取以 为根的二叉树的最大金额。该函数返回一个二元组 ，其中 表示偷取 节点时能得到的最大金额，而 表示不偷取 节点时能得到的最大金额。
函数 的计算过程如下：
如果 为空，那么显然有 。
否则，我们首先计算出左右子节点的结果，即 和 ，这样就得到了两对值 以及 。对于 的结果，我们可以分为两种情况：
- 如果偷取 节点，那么不能偷取其左右子节点，结果为 ；
- 如果不偷取 节点，那么可以偷取其左右子节点，结果为 。
在主函数中，我们可以直接返回 的较大值，即 。
时间复杂度 ，空间复杂度 。其中 是二叉树的节点数。
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
# self.val = val
# self.left = left
# self.right = right
class Solution:
def rob(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
def dfs(root: Optional[TreeNode]) -> (int, int):
if root is None:
return 0, 0
la, lb = dfs(root.left)
ra, rb = dfs(root.right)
return root.val + lb + rb, max(la, lb) + max(ra, rb)
return max(dfs(root))
复杂度分析
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 时间 | Depends on the final approach |
| 空间 | Depends on the final approach |
面试官常问的追问
外企场景- question_mark
Look for the candidate's ability to traverse a binary tree efficiently using DFS.
- question_mark
Assess their understanding of dynamic programming and state tracking in tree problems.
- question_mark
Evaluate if they can handle large inputs effectively by applying memoization techniques.
常见陷阱
外企场景- error
Forgetting to account for the constraint that no two directly-linked houses can be robbed.
- error
Overlooking the importance of memoization in improving time complexity for larger trees.
- error
Failing to properly track and compare both robbed and skipped states for each node.
进阶变体
外企场景- arrow_right_alt
Modify the problem to work with a general graph instead of a binary tree, adding complexity in terms of adjacency.
- arrow_right_alt
Introduce a limit on the number of houses that can be robbed in a single night, adding an extra layer of optimization.
- arrow_right_alt
Change the tree to a non-binary tree, where each node can have an arbitrary number of children, altering the DFS approach.