How do greedy strategies help solve the Minimum Non-Zero Product of the Array Elements?

Greedy strategies help by ensuring the array elements are minimized as much as possible through bit swaps, thus reducing the product effectively.

What is the time complexity of solving this problem?

The time complexity depends on the chosen approach but could typically be O(p^2) for a greedy solution that checks each pair of elements.

Why do we need to validate the invariant during swaps?

Validating the invariant ensures that we don't accidentally create a product of zero, which would invalidate the problem's conditions.

What is the significance of modulo 10^9 + 7 in this problem?

The modulo 10^9 + 7 ensures that the result remains within the required bounds and prevents overflow when dealing with large products.

What is the pattern used in the Minimum Non-Zero Product of the Array Elements?

The problem utilizes a greedy choice strategy combined with invariant validation to minimize the product effectively.

#1969

Medium

auto_awesome贪心·invariant

LeetCode 题解工作台

数组元素的最小非零乘积

给你一个正整数 p 。你有一个下标从 1 开始的数组 nums ，这个数组包含范围 [1, 2 p - 1] 内所有整数的二进制形式（两端都包含）。你可以进行以下操作任意次：从 nums 中选择两个元素 x 和 y 。选择 x 中的一位与 y 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数相…

数学贪心递归

题目描述

给你一个正整数 p 。你有一个下标从 1 开始的数组 nums ，这个数组包含范围 [1, 2^p - 1] 内所有整数的二进制形式（两端都包含）。你可以进行以下操作任意次：

从 nums 中选择两个元素 x 和 y 。
选择 x 中的一位与 y 对应位置的位交换。对应位置指的是两个整数 相同位置 的二进制位。

比方说，如果 x = 1101 且 y = 0011 ，交换右边数起第 2 位后，我们得到 x = 1111 和 y = 0001 。

请你算出进行以上操作 任意次 以后，nums 能得到的 最小非零 乘积。将乘积对 10⁹ + 7 取余后返回。

注意：答案应为取余之前的最小值。

示例 1：

输入：p = 1
输出：1
解释：nums = [1] 。
只有一个元素，所以乘积为该元素。

示例 2：

输入：p = 2
输出：6
解释：nums = [01, 10, 11] 。
所有交换要么使乘积变为 0 ，要么乘积与初始乘积相同。
所以，数组乘积 1 * 2 * 3 = 6 已经是最小值。

示例 3：

输入：p = 3
输出：1512
解释：nums = [001, 010, 011, 100, 101, 110, 111]
- 第一次操作中，我们交换第二个和第五个元素最左边的数位。
    - 结果数组为 [001, 110, 011, 100, 001, 110, 111] 。
- 第二次操作中，我们交换第三个和第四个元素中间的数位。
    - 结果数组为 [001, 110, 001, 110, 001, 110, 111] 。
数组乘积 1 * 6 * 1 * 6 * 1 * 6 * 7 = 1512 是最小乘积。

提示：

1 <= p <= 60

lightbulb

解题思路

方法一：贪心 + 快速幂

我们注意到，每一次操作，并不会改变元素的和，而在元素和不变的情况下，要想使得乘积最小，应该尽可能最大化元素的差值。

由于最大的元素为 $2^p - 1$ ，无论与哪个元素交换，都不会使得差值变大，因此我们不需要考虑与最大元素交换的情况。

对于其它的 $[1,..2^p-2]$ 的元素，我们依次将首尾元素两两配对，即 $x$ 与 $2^p-1-x$ 进行配置，那么经过若干次操作过后，每一对元素都变成了 $(1, 2^p-2)$ ，那么最终的乘积为 $(2^p-1) \times (2^p-2)^{2^{p-1}-1}$ 。

时间复杂度 $O(p)$ ，空间复杂度 $O(1)$ 。

1

2

3

4

5

class Solution:
    def minNonZeroProduct(self, p: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        return (2**p - 1) * pow(2**p - 2, 2 ** (p - 1) - 1, mod) % mod

speed

复杂度分析

指标	值
时间	Depends on the final approach
空间	Depends on the final approach

psychology

面试官常问的追问

外企场景

question_mark
Tests understanding of greedy strategies and invariant validation.
question_mark
Evaluates knowledge of bit manipulation and modulo arithmetic.
question_mark
Assesses the ability to optimize mathematical problems through simple operations.

warning

常见陷阱

外企场景

error
Failing to maintain the invariant and inadvertently setting the product to zero.
error
Mismanaging bit-swapping operations, leading to incorrect results.
error
Not applying modulo arithmetic, resulting in overflow or incorrect answers.

swap_horiz

进阶变体

外企场景

arrow_right_alt
Allowing a larger range for `p`.
arrow_right_alt
Testing with arrays that contain duplicates or a more diverse range of binary numbers.
arrow_right_alt
Modifying the operation to include swaps between non-adjacent elements.

help

常见问题

外企场景

继续练习

#1927 求和游戏 #1922 统计好数字的数目 #2029 石子游戏 IX