What is the best way to approach the 'Minimum Cost to Cut a Stick' problem?

The best approach is to use dynamic programming with a state transition table that calculates the minimum cost of cuts between any two positions on the stick.

How does dynamic programming help in minimizing the cutting cost?

Dynamic programming helps by storing intermediate results in a 2D table, preventing redundant calculations and ensuring the optimal cutting order is determined efficiently.

What is the time complexity of the optimal solution for 'Minimum Cost to Cut a Stick'?

The time complexity of the optimal solution is O(m^3), where m is the number of cuts. This comes from evaluating each possible cut pair in the dynamic programming table.

Can a greedy algorithm solve the 'Minimum Cost to Cut a Stick' problem?

A greedy approach might provide a suboptimal solution, but it is not guaranteed to find the minimum cost. Dynamic programming ensures the optimal solution.

What is the role of sorting the cuts in this problem?

Sorting the cuts ensures that the dynamic programming table is filled efficiently, helping minimize the overall cost of cutting the stick.

#1547

Hard

auto_awesome状态·转移·动态规划

LeetCode 题解工作台

切棍子的最小成本

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本…

数组动态规划排序

题目描述

有一根长度为 n 个单位的木棍，棍上从 0 到 n 标记了若干位置。例如，长度为 6 的棍子可以标记如下：

给你一个整数数组 cuts ，其中 cuts[i] 表示你需要将棍子切开的位置。

你可以按顺序完成切割，也可以根据需要更改切割的顺序。

每次切割的成本都是当前要切割的棍子的长度，切棍子的总成本是历次切割成本的总和。对棍子进行切割将会把一根木棍分成两根较小的木棍（这两根木棍的长度和就是切割前木棍的长度）。请参阅第一个示例以获得更直观的解释。

返回切棍子的 最小总成本 。

示例 1：

输入：n = 7, cuts = [1,3,4,5]
输出：16
解释：按 [1, 3, 4, 5] 的顺序切割的情况如下所示：

第一次切割长度为 7 的棍子，成本为 7 。第二次切割长度为 6 的棍子（即第一次切割得到的第二根棍子），第三次切割为长度 4 的棍子，最后切割长度为 3 的棍子。总成本为 7 + 6 + 4 + 3 = 20 。
而将切割顺序重新排列为 [3, 5, 1, 4] 后，总成本 = 16（如示例图中 7 + 4 + 3 + 2 = 16）。

示例 2：

输入：n = 9, cuts = [5,6,1,4,2]
输出：22
解释：如果按给定的顺序切割，则总成本为 25 。总成本 <= 25 的切割顺序很多，例如，[4, 6, 5, 2, 1] 的总成本 = 22，是所有可能方案中成本最小的。

提示：

2 <= n <= 10^6
1 <= cuts.length <= min(n - 1, 100)
1 <= cuts[i] <= n - 1
cuts 数组中的所有整数都 互不相同

lightbulb

解题思路

方法一：动态规划（区间 DP）

我们可以往切割点数组 $\textit{cuts}$ 中添加两个元素，分别是 $0$ 和 $n$ ，表示棍子的两端。然后我们对 $\textit{cuts}$ 数组进行排序，这样我们就可以将整个棍子切割为若干个区间，每个区间都有两个切割点。不妨设此时 $\textit{cuts}$ 数组的长度为 $m$ 。

接下来，我们定义 $\textit{f}[i][j]$ 表示切割区间 $[\textit{cuts}[i],..\textit{cuts}[j]]$ 的最小成本。

如果一个区间只有两个切割点，也就是说，我们无需切割这个区间，那么 $\textit{f}[i][j] = 0$ 。

否则，我们枚举区间的长度 $l$ ，其中 $l$ 等于切割点的数量减去 $1$ 。然后我们枚举区间的左端点 $i$ ，右端点 $j$ 可以由 $i + l$ 得到。对于每个区间，我们枚举它的切割点 $k$ ，其中 $i \lt k \lt j$ ，那么我们可以将区间 $[i, j]$ 切割为 $[i, k]$ 和 $[k, j]$ ，此时的成本为 $\textit{f}[i][k] + \textit{f}[k][j] + \textit{cuts}[j] - \textit{cuts}[i]$ ，我们取所有可能的 $k$ 中的最小值，即为 $\textit{f}[i][j]$ 的值。

最后，我们返回 $\textit{f}[0][m - 1]$ 。

时间复杂度 $O(m^3)$ ，空间复杂度 $O(m^2)$ 。其中 $m$ 为修改后的 $\textit{cuts}$ 数组的长度。

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class Solution:
    def minCost(self, n: int, cuts: List[int]) -> int:
        cuts.extend([0, n])
        cuts.sort()
        m = len(cuts)
        f = [[0] * m for _ in range(m)]
        for l in range(2, m):
            for i in range(m - l):
                j = i + l
                f[i][j] = inf
                for k in range(i + 1, j):
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cuts[j] - cuts[i])
        return f[0][-1]

speed

复杂度分析

指标	值
时间	O(m^3)
空间	O(m^2)

psychology

面试官常问的追问

外企场景

question_mark
Focus on dynamic programming and state transitions for this problem.
question_mark
A candidate should be able to optimize the order of cuts and explain how dynamic programming helps with this optimization.
question_mark
Watch for the candidate's understanding of time and space complexity in relation to dynamic programming solutions.

warning

常见陷阱

外企场景

error
Failing to sort the cuts optimally, leading to a suboptimal solution.
error
Not understanding the importance of the 2D dynamic programming table in minimizing redundant calculations.
error
Not clearly explaining the relationship between the cut positions and the dynamic programming approach.

swap_horiz

进阶变体

外企场景

arrow_right_alt
Consider implementing the solution for larger input sizes where the number of cuts increases.
arrow_right_alt
Try optimizing the space complexity by reducing the size of the dynamic programming table.
arrow_right_alt
Explore whether a greedy approach could be used as an approximation for very large input sizes.

help

常见问题

外企场景

继续练习

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