What is the primary pattern used in the "Maximize Total Cost of Alternating Subarrays" problem?

The problem utilizes state transition dynamic programming to solve for the maximum total cost of alternating subarrays.

How can dynamic programming help in solving the problem efficiently?

Dynamic programming helps by storing intermediate results for subarray sums, ensuring that overlapping subproblems are solved only once, thus optimizing the overall solution.

What are some common pitfalls to avoid when solving this problem?

Avoid not correctly identifying alternating subarrays, using inefficient brute force methods, and missing valid subarray splits that maximize the cost.

How do you handle edge cases like a single-element array?

For a single-element array, the maximum cost is 0, as no valid alternating subarray split is possible.

What is the time complexity of the optimal solution for this problem?

The time complexity of the optimal solution is O(n), where n is the length of the array, due to the linear scan of the array and dynamic programming transitions.

#3196

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LeetCode 题解工作台

最大化子数组的总成本

给你一个长度为 n 的整数数组 nums 。子数组 nums[l..r] （其中 0 ）的成本定义为： cost(l, r) = nums[l] - nums[l + 1] + ... + nums[r] * (−1) r − l 你的任务是将 nums 分割成若干子数组，使得所有子数组的成本…

数组动态规划

题目描述

给你一个长度为 n 的整数数组 nums。

子数组 nums[l..r]（其中 0 <= l <= r < n）的成本定义为：

cost(l, r) = nums[l] - nums[l + 1] + ... + nums[r] * (−1)^{r − l}

你的任务是将 nums 分割成若干子数组，使得所有子数组的成本之和 最大化，并确保每个元素正好属于一个子数组。

具体来说，如果 nums 被分割成 k 个子数组，且分割点为索引 i₁, i₂, ..., i_{k − 1}（其中 0 <= i₁ < i₂ < ... < i_{k - 1} < n - 1），则总成本为：

cost(0, i₁) + cost(i₁ + 1, i₂) + ... + cost(i_{k − 1} + 1, n − 1)

返回在最优分割方式下的子数组成本之和的最大值。

注意：如果 nums 没有被分割，即 k = 1，则总成本即为 cost(0, n - 1)。

示例 1：

输入： nums = [1,-2,3,4]

输出： 10

解释：

一种总成本最大化的方法是将 [1, -2, 3, 4] 分割成子数组 [1, -2, 3] 和 [4]。总成本为 (1 + 2 + 3) + 4 = 10。

示例 2：

输入： nums = [1,-1,1,-1]

输出： 4

解释：

一种总成本最大化的方法是将 [1, -1, 1, -1] 分割成子数组 [1, -1] 和 [1, -1]。总成本为 (1 + 1) + (1 + 1) = 4。

示例 3：

输入： nums = [0]

输出： 0

解释：

无法进一步分割数组，因此答案为 0。

示例 4：

输入： nums = [1,-1]

输出： 2

解释：

选择整个数组，总成本为 1 + 1 = 2，这是可能的最大成本。

提示：

1 <= nums.length <= 10⁵
-10⁹ <= nums[i] <= 10⁹

lightbulb

解题思路

方法一：记忆化搜索

根据题目描述，如果当前数没取反，那么下一个可以取反，也可以不取反；如果当前数取反了，那么下一个只能不取反。

因此，我们定义一个函数 $\textit{dfs}(i, j)$ ，表示从第 $i$ 个数开始，第 $i$ 个数是否能取反，其中 $j$ 表示第 $i$ 个数是否取反。如果 $j = 0$ ，表示第 $i$ 个数不能取反，否则可以取反。答案为 $\textit{dfs}(0, 0)$ 。

函数 $dfs(i, j)$ 的执行过程如下：

如果 $i \geq \textit{len}(nums)$ ，表示已经遍历完了数组，返回 $0$ ；
否则，第 $i$ 个数可以不取反，此时答案为 $nums[i] + \textit{dfs}(i + 1, 1)$ ；如果 $j = 1$ ，表示第 $i$ 个数可以取反，此时答案为 $\max(\textit{dfs}(i + 1, 0) - nums[i])$ 。我们取两者的最大值即可。

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索，将已经计算过的结果保存起来。

时间复杂度 $O(n)$ ，空间复杂度 $O(n)$ 。其中 $n$ 是数组 $nums$ 的长度。

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class Solution:
    def maximumTotalCost(self, nums: List[int]) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i >= len(nums):
                return 0
            ans = nums[i] + dfs(i + 1, 1)
            if j == 1:
                ans = max(ans, -nums[i] + dfs(i + 1, 0))
            return ans

        return dfs(0, 0)

speed

复杂度分析

指标	值
时间	Depends on the final approach
空间	Depends on the final approach

psychology

面试官常问的追问

外企场景

question_mark
Look for an understanding of dynamic programming and state transitions.
question_mark
Evaluate the ability to optimize a solution based on greedy subarray splits.
question_mark
Test the candidate's ability to calculate and maximize subarray costs effectively.

warning

常见陷阱

外企场景

error
Not properly identifying valid alternating subarrays.
error
Using a brute force method that doesn't take advantage of dynamic programming.
error
Failing to consider all possible valid splits of the array.

swap_horiz

进阶变体

外企场景

arrow_right_alt
Adjust the problem to handle larger arrays efficiently.
arrow_right_alt
Implement a solution that handles various edge cases like single-element arrays.
arrow_right_alt
Test with arrays containing both positive and negative values to explore different split patterns.

help

常见问题

外企场景

继续练习

#3193 统计逆序对的数目 #3192 使二进制数组全部等于 1 的最少操作次数 II #3201 找出有效子序列的最大长度 I