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猜数字大小 II
我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下： 我从 1 到 n 之间选择一个数字。 你来猜我选了哪个数字。 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。 每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如…
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题型
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代码语言
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相关题
当前训练重点
中等 · 状态·转移·动态规划
答案摘要
我们定义 表示在区间 $[i, j]$ 中猜中任意一个数最少需要花费的钱数。初始时 $f[i][i] = 0$，因为猜中了唯一的数不需要花费，对于 $i \gt j$ 的情况，也有 $f[i][j] = 0$。答案即为 。 对于 ，我们可以枚举 $[i, j]$ 中的任意一个数 ，将区间 $[i, j]$ 分为 $[i, k - 1]$ 和 $[k + 1, j]$ 两部分，选择其中的较大值加上…
Interview AiBoxInterview AiBox 实时 AI 助手，陪你讲清 状态·转移·动态规划 题型思路
题目描述
我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
- 我从
1到n之间选择一个数字。 - 你来猜我选了哪个数字。
- 如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
- 如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
- 每当你猜了数字
x并且猜错了的时候，你需要支付金额为x的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。
给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。
示例 1：
输入：n = 10 输出：16 解释：制胜策略如下： - 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $7 。 - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $9 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。 - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 $7 + $9 = $16 。 - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 。否则，你需要支付 $3 。 - 如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $5 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。 - 如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $5 = $15 。 - 如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $7 + $3 = $10 。否则，你需要支付 $1 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $7 + $3 + $1 = $11 。 在最糟糕的情况下，你需要支付 $16 。因此，你只需要 $16 就可以确保自己赢得游戏。
示例 2：
输入：n = 1 输出：0 解释：只有一个可能的数字，所以你可以直接猜 1 并赢得游戏，无需支付任何费用。
示例 3：
输入：n = 2 输出：1 解释：有两个可能的数字 1 和 2 。 - 你可以先猜 1 。 - 如果这是我选中的数字，你的总费用为 $0 。否则，你需要支付 $1 。 - 如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 $1 。 最糟糕的情况下，你需要支付 $1 。
提示：
1 <= n <= 200
解题思路
方法一：动态规划
我们定义 表示在区间 中猜中任意一个数最少需要花费的钱数。初始时 ，因为猜中了唯一的数不需要花费，对于 的情况，也有 。答案即为 。
对于 ，我们可以枚举 中的任意一个数 ，将区间 分为 和 两部分，选择其中的较大值加上 的花费，即 的最小值。
时间复杂度 ，空间复杂度 。其中 为猜测的数字范围。
class Solution:
def getMoneyAmount(self, n: int) -> int:
f = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(n - 1, 0, -1):
for j in range(i + 1, n + 1):
f[i][j] = j + f[i][j - 1]
for k in range(i, j):
f[i][j] = min(f[i][j], max(f[i][k - 1], f[k + 1][j]) + k)
return f[1][n]
复杂度分析
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 时间 | Depends on the final approach |
| 空间 | Depends on the final approach |
面试官常问的追问
外企场景- question_mark
Can the candidate explain how the dynamic programming approach minimizes the worst-case cost?
- question_mark
Does the candidate understand how to construct subproblems for a given range and transition between them?
- question_mark
Can the candidate identify the optimal substructure and explain how it applies to this problem?
常见陷阱
外企场景- error
Choosing the wrong number to guess within a range, leading to an inefficient solution with higher costs.
- error
Failing to recognize the optimal substructure and trying to brute force the problem instead of using dynamic programming.
- error
Not properly accounting for all possible subranges and making incorrect assumptions about the problem's state transitions.
进阶变体
外企场景- arrow_right_alt
What if the range starts at a number other than 1?
- arrow_right_alt
What if the cost function changes and isn't directly tied to the guess number?
- arrow_right_alt
How does this problem change if you're allowed to make multiple guesses instead of just one?