多米诺和托米诺平铺

方法一：动态规划

我们首先要读懂题意，题目实际上是让我们求铺满 $2\times n$ 的面板的方案数，其中面板上的每个正方形只能被一个瓷砖覆盖。

瓷砖的形状有两种，分别是 2 x 1 型 和 L 型，并且两种瓷砖都可以旋转。我们将旋转后的瓷砖分别记为 1 x 2 型 和 L' 型。

我们定义 $f[i][j]$ 表示平铺前 $2\times i$ 的面板，其中 $j$ 表示最后一列的状态。最后一列有 $4$ 种状态，分别是：

• 最后一列铺满，记为 $0$
• 最后一列只铺了上方一个瓷砖，记为 $1$
• 最后一列只铺了下方一个瓷砖，记为 $2$
• 最后一列没有铺瓷砖，记为 $3$

那么答案就是 $f[n][0]$。初始时 $f[0][0]=1$，其余 $f[0][j]=0$。

我们考虑铺到第 $i$ 列，来看看状态转移方程：

当 $j=0$ 时，最后一列铺满，可由前一列的 $0,1,2,3$ 四种状态铺上对应的瓷砖转移而来，即 $f[i-1][0]$ 铺上 1 x 2 型瓷砖，或者 $f[i-1][1]$ 铺上 L' 型瓷砖，或者 $f[i-1][2]$ 铺上 L' 型瓷砖，或者 $f[i-1][3]$ 铺上两块 2 x 1 型瓷砖。因此 $f[i][0]=\sum_{j=0}^3f[i-1][j]$。

当 $j=1$ 时，最后一列只铺了上方一个瓷砖，可由前一列的 $2,3$ 两种状态转移而来，即 $f[i-1][2]$ 铺上 2 x 1 型瓷砖，或者 $f[i-1][3]$ 铺上 L 型瓷砖。因此 $f[i][1]=f[i-1][2]+f[i-1][3]$。

当 $j=2$ 时，最后一列只铺了下方一个瓷砖，可由前一列的 $1,3$ 两种状态转移而来，即 $f[i-1][1]$ 铺上 2 x 1 型瓷砖，或者 $f[i-1][3]$ 铺上 L' 型瓷砖。因此 $f[i][2]=f[i-1][1]+f[i-1][3]$。

当 $j=3$ 时，最后一列没有铺瓷砖，可由前一列的 $0$ 一种状态转移而来。因此 $f[i][3]=f[i-1][0]$。

可以发现，状态转移方程中只涉及到前一列的状态，因此我们可以使用滚动数组优化空间复杂度。

注意，过程中的状态数值可能会很大，因此需要对 $10^9+7$ 取模。

时间复杂度 $O(n)$，其中 $n$ 为面板的列数。空间复杂度 $O(1)$。