What is the state transition dynamic programming approach for this problem?

In this problem, you use dynamic programming to manage the transition between different states of the array, ensuring that the array remains non-decreasing as it grows.

How do I handle large numbers in this problem?

You must take the result modulo 10^9 + 7 to prevent overflow and keep the numbers manageable.

What is the time complexity of this solution?

The time complexity is O((n + ω(m)) * ω(m) + m * ω(m)), ensuring the solution can handle large inputs efficiently.

What are the main pitfalls to avoid in this problem?

Make sure to correctly apply the modulo operation, optimize the dynamic programming approach, and avoid overcomplicating the state transition process.

Can the approach be optimized further for space?

Yes, the space complexity can be optimized by reducing the memory used for storing intermediate states, which is handled in the solution.

#2338

Hard

auto_awesome状态·转移·动态规划

LeetCode 题解工作台

统计理想数组的数目

给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个理想数组。对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个理想数组：每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0 。每个 arr[i] 都可以被 arr[…

数学动态规划组合数学数论

题目描述

给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个 理想数组 。

对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：

每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0 <= i < n 。
每个 arr[i] 都可以被 arr[i - 1] 整除，其中 0 < i < n 。

返回长度为 n 的不同理想数组的数目。由于答案可能很大，返回对 10⁹ + 7 取余的结果。

示例 1：

输入：n = 2, maxValue = 5
输出：10
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（5 个）：[1,1]、[1,2]、[1,3]、[1,4]、[1,5]
- 以 2 开头的数组（2 个）：[2,2]、[2,4]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3]
- 以 4 开头的数组（1 个）：[4,4]
- 以 5 开头的数组（1 个）：[5,5]
共计 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 个不同理想数组。

示例 2：

输入：n = 5, maxValue = 3
输出：11
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（9 个）：
   - 不含其他不同值（1 个）：[1,1,1,1,1] 
   - 含一个不同值 2（4 个）：[1,1,1,1,2], [1,1,1,2,2], [1,1,2,2,2], [1,2,2,2,2]
   - 含一个不同值 3（4 个）：[1,1,1,1,3], [1,1,1,3,3], [1,1,3,3,3], [1,3,3,3,3]
- 以 2 开头的数组（1 个）：[2,2,2,2,2]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3,3,3,3]
共计 9 + 1 + 1 = 11 个不同理想数组。

提示：

2 <= n <= 10⁴
1 <= maxValue <= 10⁴

lightbulb

解题思路

方法一：动态规划

设 $f[i][j]$ 表示以 $i$ 结尾，且由 $j$ 个不同元素构成的序列的方案数。初始值 $f[i][1]=1$ 。

考虑 $n$ 个小球，最终划分为 $j$ 份，那么可以用“隔板法”，即在 $n-1$ 个位置上插入 $j-1$ 个隔板，那么组合数为 $c_{n-1}^{j-1}$ 。

我们可以预处理组合数 $c[i][j]$ ，根据递推公式 $c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1]$ 求得，特别地，当 $j=0$ 时， $c[i][j]=1$ 。

最终的答案为

\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{\log_2 k + 1} f[i][j] \times c_{n-1}^{j-1}

其中 $k$ 表示数组的最大值，即 $\textit{maxValue}$ 。

时间复杂度 $O(m \times \log^2 m)$ ，空间复杂度 $O(m \times \log m)$ 。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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21

22

class Solution:
    def idealArrays(self, n: int, maxValue: int) -> int:
        c = [[0] * 16 for _ in range(n)]
        mod = 10**9 + 7
        for i in range(n):
            for j in range(min(16, i + 1)):
                c[i][j] = 1 if j == 0 else (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod
        f = [[0] * 16 for _ in range(maxValue + 1)]
        for i in range(1, maxValue + 1):
            f[i][1] = 1
        for j in range(1, 15):
            for i in range(1, maxValue + 1):
                k = 2
                while k * i <= maxValue:
                    f[k * i][j + 1] = (f[k * i][j + 1] + f[i][j]) % mod
                    k += 1
        ans = 0
        for i in range(1, maxValue + 1):
            for j in range(1, 16):
                ans = (ans + f[i][j] * c[-1][j - 1]) % mod
        return ans

speed

复杂度分析

指标	值
时间	O((n+\omega(m))\cdot\omega(m)+m\omega(m))
空间	O((n+\log(m))\cdot\log(m))

psychology

面试官常问的追问

外企场景

question_mark
Candidates should demonstrate a clear understanding of dynamic programming and state transitions.
question_mark
Look for efficient handling of large numbers and the use of modulo operations.
question_mark
Candidates should optimize both time and space complexity while working with dynamic arrays.

warning

常见陷阱

外企场景

error
Failing to correctly handle the modulo operation can lead to incorrect results for large numbers.
error
Not optimizing the dynamic programming approach can result in time or space inefficiencies.
error
Overcomplicating the state transition process when the solution can be simplified by recognizing the non-decreasing property of the array.

swap_horiz

进阶变体

外企场景

arrow_right_alt
The problem could be modified by changing the allowed range for values in the array, requiring adjustments to the dynamic programming approach.
arrow_right_alt
Instead of returning the count modulo 10^9 + 7, the problem could ask for the sum of all possible ideal arrays.
arrow_right_alt
The problem could involve a different type of array structure, such as allowing for strictly increasing arrays or arrays with no repetition.

help

常见问题

外企场景

继续练习

#1735 生成乘积数组的方案数 #2400 恰好移动 k 步到达某一位置的方法数目 #2597 美丽子集的数目